Limites et comparaison

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = n + \cos(n)$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Pour tout entier naturel $n$, on a :

Or, $\lim\limits_{n \to +\infty} (n-1) = +\infty$.
Donc, d’après le théorème précédent, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\sqrt{\dfrac{1}{n+1}} \geq 0$.
En ajoutant $n$ à chaque membre de l’inégalité, on obtient que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

ce qui équivaut à $u_n \geq n$.

Or $\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty$.
Donc, par comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(-1)^n \leq 1$.
En ajoutant $-n^2$ à chaque membre de l’inégalité, on obtient :

Donc $u_n \leq -n^2 + 1$, pour tout entier naturel $n$.

Or $\lim\limits_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} (-n^2) = -\infty$ et, par somme, $\lim\limits_{n \to +\infty} (-n^2 + 1) = -\infty$.

Donc, par comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

1. Pour tout entier naturel $n$ tel que $n > 1$, on a $1 \geq \cos(n) \geq -1$, d’où $n+1 \geq n+\cos(n) \geq n-1$.

Or, la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$, donc pour tout entier naturel $n$ non nul :

soit

Or, $\lim\limits_{n \to +\infty} (n+1) = +\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} (n-1) = +\infty$.
D’où, par passage à l’inverse :

D’après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n = 0$.

2. Pour tout entier naturel $n$, on a $-1 \leq (-1)^n \leq 1$.
En ajoutant 2 à chaque membre de l’inégalité, on obtient :

Puis en divisant par $n^2+1$, quantité positive, on a :

d’où :

Or, $\lim\limits_{n \to +\infty} (n^2+1) = +\infty$, donc, par passage à l’inverse :

Enfin, par somme :

D’après le théorème des gendarmes, on a donc : la suite $(z_n)$ converge et $\lim\limits_{n \to +\infty} z_n = 1$.