Limites et opérations

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites et soient $l$ et $l'$ deux réels. Le symbole $\infty$ désigne soit $+\infty$ , soit $-\infty$ .

Somme

Propriété (admise)

Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dots$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \dots$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
alors $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \dots$	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	Forme indéterminée

Remarques

Dans le cas où le calcul mène à une forme indéterminée, il peut être utile de transformer l’écriture de $u_n + v_n$ .
La limite de $(u_n + \alpha)$ , où $\alpha$ est un réel, est la limite de $(u_n + v_n)$ dans le cas où $(v_n)$ est la suite constante de terme général égal à $\alpha$ .

Produit

Propriété (admise)

Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dots$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\infty$	0
et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \dots$	$\ell'$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
alors $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n \times v_n) = \dots$	$\ell \times \ell'$	$\infty$	$\infty$	Forme indéterminée

Remarques

Quand le tableau indique $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n \times v_n) = \infty$ , il faut utiliser la règle des signes pour conclure.
La limite de $(k u_n)$ , où $k$ est un réel non nul, est la limite de $(u_n \times v_n)$ dans le cas où $(v_n)$ est la suite constante de terme général égal à $k$ .

Quotient

Propriété (admise)

Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dots$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\infty$	$\ell$ ou $\infty$	0	$\infty$
et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \dots$	$\ell' \neq 0$	$\infty$	$\ell' \neq 0$	0 avec $v_n$ de signe constant	0	$\infty$
alors $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \dots$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	0	$\infty$	$\infty$	Forme indéterminée	Forme indéterminée

Remarque

Si $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$ et si $(u_n)$ a une limite, il faut qu’à partir d’un certain rang le signe de $v_n$ soit constamment positif ou constamment négatif pour pouvoir appliquer la règle des signes et conclure sur la limite de $\dfrac{u_n}{v_n}$ .

Déterminer une limite en utilisant les opérations

Méthode 1 — Déterminer une limite en utilisant les opérations

Déterminer les limites des suites définies pour tout entier naturel $n$ par :

$u_n = n^2 + n - 6$
$v_n = (2 - 5n)\sqrt{n}$

Solution commentée

\lim_{n \to +\infty} n = +\infty, \quad \text{donc, par somme, } \lim_{n \to +\infty} (n - 6) = +\infty.

\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} (n - 6) = +\infty,

donc, par somme, $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .

\lim_{n \to +\infty} n = +\infty, \quad \text{donc, par produit et en appliquant la règle des signes, } \lim_{n \to +\infty} (-5n) = -\infty,

puis, par somme, $\lim_{n \to +\infty} (2 - 5n) = -\infty$ .

\lim_{n \to +\infty} (2 - 5n) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty,

donc, par produit et en appliquant la règle des signes, $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$ .

Lever une indétermination

Méthode 2 — Lever une indétermination

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

u_n = n^2 - 10n + 5 \quad \text{et} \quad v_n = \dfrac{2n - 4}{3 + n}.

Montrer que, pour chacune de ces suites, les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure sans transformer les expressions.
En transformant l’écriture des termes généraux de chacune d’entre elles, calculer leurs limites.

Solution commentée

\lim_{n \to +\infty} n = +\infty \quad \text{donc, par produit, } \lim_{n \to +\infty} (-10n) = -\infty

puis, par somme :

\lim_{n \to +\infty} (-10n + 5) = -\infty.

\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} (-10n + 5) = -\infty :

on ne peut donc pas conclure.

\lim_{n \to +\infty} n = +\infty \quad \text{donc, par produit, } \lim_{n \to +\infty} (2n) = +\infty

puis, par somme :

\lim_{n \to +\infty} (2n - 4) = +\infty.

\lim_{n \to +\infty} (2n - 4) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} (3 + n) = +\infty :

on ne peut donc pas conclure.

2. Pour tout entier $n \geq 1$ , en factorisant par $n^2$ , on obtient :

u_n = n^2 \left(1 - \dfrac{10}{n} + \dfrac{5}{n^2}\right).

\lim_{n \to +\infty} n = +\infty \quad \text{donc} \quad \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty,

par quotient :

\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{-10}{n}\right) = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{5}{n^2} = 0,

et, par somme :

\lim_{n \to +\infty} \left(1 - \dfrac{10}{n} + \dfrac{5}{n^2}\right) = 1.

Ainsi,

\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty.

Pour tout entier $n \geq 1$ , en factorisant par $n$ au numérateur et au dénominateur, on obtient :

v_n = \dfrac{n(2 - \tfrac{4}{n})}{n(\tfrac{3}{n} + 1)} = \dfrac{2 - \tfrac{4}{n}}{\tfrac{3}{n} + 1}.

\lim_{n \to +\infty} n = +\infty \quad \text{donc, par quotient, } \lim_{n \to +\infty} \dfrac{4}{n} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n} = 0.

Par somme :

\lim_{n \to +\infty} \left(2 - \dfrac{4}{n}\right) = 2 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{3}{n} + 1\right) = 1,

ce qui donne, par quotient :

\lim_{n \to +\infty} v_n = 2.

Définition des limites Limites et comparaison