Exercices

1. $v_0=3$.
   $\displaystyle v_1=3^2+3=12$.
   $\displaystyle v_2=12^2+12=156$.
   $\displaystyle v_3=156^2+156=24\,492$.

2. Par la récurrence : $\displaystyle v_{n+2}=v_{n+1}^2+v_{n+1}$.

3. Idem : $\displaystyle v_n=v_{n-1}^2+v_{n-1}$.

4. $\displaystyle v_4=v_3^2+v_3=24\,492^2+24\,492=599\,882\,556$.

5. On pose $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x)=x^2+x$. Alors, pour tout $n$, $\displaystyle v_{n+1}=f(v_n)$.

1) Hérédité. Supposons $P(k)$ vraie : $0<u_k<\tfrac{7}{5}$.
Alors $u_k+\tfrac{2}{5}>\tfrac{2}{5}>0$ donc $u_{k+1}=\sqrt{u_k+\tfrac{2}{5}}>0$.
De plus, $u_k+\tfrac{2}{5}<\tfrac{7}{5}+\tfrac{2}{5}=\tfrac{9}{5}$ donc

Ainsi $0<u_{k+1}<\tfrac{7}{5}$ : $P(k)\Rightarrow P(k+1)$, la propriété est héréditaire.

2) Initialisation et condition sur $u_0$.
Pour que $P(n)$ soit vraie pour tout $n$, il suffit que $P(0)$ soit vraie (puis hérédité).
Donc on doit avoir $0<u_0<\tfrac{7}{5}$.

Initialisation. Pour $n=0$, $u_0=-1 \leq 1$ : la propriété est vraie.

Hérédité. Supposons $u_k \leq 1$. Alors

Donc $u_{k+1}\leq 1$.

Conclusion. Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leq 1$.

1. On pose $f(x)=\dfrac{3x+2}{x+2}$. Alors $u_{n+1}=f(u_n)$.

2. Pour $x\geq 0$,
   

   $$f'(x)=\frac{3(x+2)-(3x+2)}{(x+2)^2}=\frac{4}{(x+2)^2}>0.$$

   
   Donc $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.

3. On raisonne par récurrence.

• Initialisation. Pour $n=0$, $u_0=\tfrac{1}{4}$ et $u_1=f(u_0)=\dfrac{3\cdot \tfrac{1}{4}+2}{\tfrac{1}{4}+2}=\dfrac{\tfrac{3}{4}+2}{\tfrac{1}{4}+2}=\dfrac{\tfrac{11}{4}}{\tfrac{9}{4}}=\dfrac{11}{9}$.
  Et $f(0)=\dfrac{2}{2}=1$ et $f(2)=\dfrac{6+2}{4}=2$. Donc $0 \leq u_0 \leq u_1 \leq 2$. La propriété est vraie au rang 0.
• Hérédité. Supposons que, pour un certain $k$, $0 \leq u_k \leq u_{k+1} \leq 2$.
  Alors, comme $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$, on a $f(u_k) \leq f(u_{k+1})$, c’est-à-dire $u_{k+1} \leq u_{k+2}$.
  De plus, $u_{k+1} \leq 2$ donc $u_{k+2} = f(u_{k+1}) = \frac{3u_{k+1}+2}{u_{k+1}+2} \leq \frac{3\cdot 2 + 2}{2 + 2} = \frac{8}{4} = 2.$
  Ainsi, $0 \leq u_{k+1} \leq u_{k+2} \leq 2$. La propriété est héréditaire.
• Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2$.

4. La suite $(u_n)$ est croissante (car $u_n \leq u_{n+1}$) et majorée par 2.

1) Récurrence.
Initialisation. Pour $n=0$, la formule donne $\frac{3^0}{2}-7\cdot0+\frac12=1=u_0$.
Hérédité. Supposons $u_k=\frac{3^k}{2}-7k+\frac12$. Alors

Donc la formule est vraie pour $k+1$. Par récurrence, elle est vraie pour tout $n$.

2) Raisonnement direct.
On a $v_n=u_{n+1}-u_n=3^n-7$.

a) Première façon de calculer $S_n$.
Par définition :

C’est une somme télescopique : tous les termes intermédiaires s’annulent et il reste

Deuxième façon.
Toujours par définition :

On sépare la somme :

• La première somme est une somme géométrique de raison 3 :
  

  $$\sum_{k=0}^{n-1}3^k=\frac{3^n-1}{3-1}=\frac{3^n-1}{2}.$$

• La deuxième somme est une somme de termes constants :
  

  $$\sum_{k=0}^{n-1}7=7+7+\cdots+7 \quad (n\ \text{fois})=7n.$$

Ainsi,

b) On a donc deux expressions de $S_n$ :

En ajoutant 1 des deux côtés :

Conclusion. L’expression explicite est bien