Comportement global d'une suite

Suites monotones

Définitions

On dit qu’une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ est :

croissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} \geq u_n$ ;
décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} \leq u_n$ .
Une suite $(u_n)$ est dite monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

Trois méthodes permettent l’étude de la monotonie d’une suite :

Méthode algébrique : elle consiste à comparer directement $u_n$ et $u_{n+1}$ :
- soit en étudiant le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ ,
- soit en comparant le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 si, pour tout entier naturel $n$ , $u_n > 0$ .
Méthode fonctionnelle : elle s’applique aux suites définies par une formule explicite de la forme $u_n = f(n)$ ( $f$ étant une fonction) et consiste à étudier le sens de variation de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ . Le sens de variation de $(u_n)$ s’en déduit.
Méthode du raisonnement par récurrence : elle s’applique aux suites définies par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ et consiste à démontrer qu’une des propriétés $P(n) : u_{n+1} \leq u_n$ ou $P(n) : u_{n+1} \geq u_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ .

Suites majorées, minorées et bornées

Définitions

On dit qu’une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ est :

majorée s’il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n \leq M$ .
$M$ est appelé un majorant de $(u_n)$ .
minorée s’il existe un réel $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n \geq m$ .
$m$ est appelé un minorant de $(u_n)$ .
bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Remarques

Une suite majorée admet une infinité de majorants. En effet, si $M$ est un majorant de $(u_n)$ , tous les réels supérieurs à $M$ sont également des majorants de $(u_n)$ . De même, une suite minorée admet une infinité de minorants.
Toute suite croissante est minorée par son premier terme et toute suite décroissante est majorée par son premier terme.
Pour démontrer qu’une suite est majorée ou minorée, on peut utiliser une des méthodes vues plus haut.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 2 - \dfrac{1}{n^2+1}$ .

On peut montrer qu’elle est bornée en utilisant la méthode algébrique.

Pour tout entier naturel $n$ , $\dfrac{1}{n^2+1} \geq 0$ , donc $u_n \leq 2$ . Donc la suite $(u_n)$ est majorée par 2.

Pour tout entier naturel $n$ , $\dfrac{1}{n^2+1} \leq 1$ , donc $-\dfrac{1}{n^2+1} \geq -1$ , donc $u_n \geq 1$ . Donc la suite $(u_n)$ est minorée par 1.

On en déduit que, pour tout entier naturel $n$ , $1 \leq u_n \leq 2$ . Donc la suite $(u_n)$ est bornée.

Déterminer le sens de variation d’une suite

Méthode 1 — Déterminer le sens de variation d’une suite

Montrer que la suite $(u_n)$ , définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 + 3n$ , est croissante.
Montrer que la suite $(v_n)$ , définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $v_n = \left(\dfrac{1}{4}\right)^n n^2$ , est décroissante.
La suite $(w_n)$ est définie par $w_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $w_{n+1} = 2w_n - 3$ .
Montrer par récurrence que la suite $(w_n)$ est décroissante.

Solution commentée

1. On peut utiliser la méthode algébrique : on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ , pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 3(n+1) - (n^2+3n) = n^2+2n+1+3n+3-n^2-3n = 2n+4.

Or, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $2n+4 \geq 0$ , c’est-à-dire $u_{n+1} - u_n \geq 0$ , donc la suite $(u_n)$ est croissante.

On peut également utiliser la méthode fonctionnelle en étudiant les variations de la fonction $f : x \mapsto x^2 + 3x$ sur $[0;+\infty[$ .
$f'(x) = 2x+3$ . Or $2x+3 \geq 0$ sur $[0;+\infty[$ , donc la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$ . Donc la suite $(u_n)$ est croissante.

2. On peut utiliser la méthode algébrique : ici, on a, pour tout entier $n \geq 1$ , $v_n > 0$ .

Donc on compare le quotient $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ à 1 pour tout entier $n \geq 1$ .

\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}(n+1)^2}{\left(\dfrac{1}{4}\right)^n n^2} = \dfrac{1}{4}\dfrac{(n+1)^2}{n^2}.

Or $\dfrac{(n+1)^2}{n^2} \leq 2n \cdot \dfrac{1}{2n} = 2n \cdot \dfrac{1}{2n} = \dfrac{n+1}{n}$ .
Donc, pour tout $n \geq 1$ , $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} \leq 1$ , donc la suite $(v_n)$ est décroissante.

3. On considère la propriété $P(n) : w_{n+1} \leq w_n$ .

Initialisation. Pour $n_0 = 0$ , $w_1 = 2w_0 - 3 = 2 \cdot 1 - 3 = -1$ et $w_0 = 1$ , donc $w_1 \leq w_0$ . Donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité. On considère un entier quelconque $k \geq 0$ . On suppose que $P(k)$ est vraie (hypothèse de récurrence), c’est-à-dire $w_{k+1} \leq w_k$ .
On veut démontrer que $P(k+1)$ est alors vraie, c’est-à-dire que $w_{k+2} \leq w_{k+1}$ .
Par hypothèse de récurrence, on a $w_{k+1} \leq w_k$ , donc $2w_{k+1} \leq 2w_k$ .
En multipliant chaque membre par le réel positif 2 et en ajoutant -3 à chaque membre, on a alors $2w_{k+1} - 3 \leq 2w_k - 3$ , soit $w_{k+2} \leq w_{k+1}$ .
Donc $P(k+1)$ est vraie. La propriété est héréditaire.
Conclusion. La propriété $P(n)$ est vraie au rang $n_0 = 0$ et elle est héréditaire, donc $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq 0$ . Ainsi, la suite $(w_n)$ est décroissante.

Montrer qu’une suite est majorée ou minorée

Méthode 2 — Montrer qu’une suite est majorée ou minorée

Montrer que la suite $(u_n)$ , définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 6n + 5$ , est minorée par $-4$ .
La suite $(v_n)$ est définie par $v_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1} = 2v_n - 3$ .
Montrer par récurrence que la suite $(v_n)$ est majorée par 3.

Solution commentée

1. Pour montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n \geq -4$ , on étudie le signe de la différence $u_n - (-4)$ .

u_n - (-4) = n^2 - 6n + 9 = (n-3)^2.

Or $(n-3)^2 \geq 0$ pour tout entier naturel $n$ , donc $u_n - (-4) \geq 0$ , donc $u_n \geq -4$ .
Donc la suite $(u_n)$ est minorée par $-4$ .

2. On considère la propriété $P(n) : v_n \leq 3$ .

Initialisation. Pour $n_0 = 0$ , $v_0 = 1$ . Or $1 \leq 3$ , donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité. On considère un entier quelconque $k \geq 0$ . On suppose que $P(k)$ est vraie, c’est-à-dire $v_k \leq 3$ .
Alors $2v_k \leq 6$ , donc $2v_k - 3 \leq 3$ , donc $v_{k+1} \leq 3$ .
Donc $P(k+1)$ est vraie. La propriété est héréditaire.
Conclusion. La propriété $P(n)$ est vraie au rang $n_0 = 0$ et elle est héréditaire, donc $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq 0$ , c’est-à-dire que, pour tout entier $n \geq 0$ , $v_n \leq 3$ .
Donc la suite $(v_n)$ est majorée par 3.

Raisonnement par récurrence Exercices