Exercices

Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_0=1$ et chaque terme est obtenu en ajoutant 1 au double du carré du terme précédent.

Solution

Suites arithmétiques : on donne le premier terme et la raison $r$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_8$ .

Solution

Formule : $u_n=u_0+nr$ . Si $u_1$ est donné : $u_n=u_1+(n-1)r$ .

Suites géométriques : on donne le premier terme et la raison $q$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_5$ .

Solution

Formule : $u_n=u_0\,q^n$ . Si $u_1$ est donné : $u_n=u_1\,q^{\,n-1}$ .

Calculer les sommes suivantes (sommes arithmétiques) :

Solution

Formule : $S=\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}$ avec $a_k=a_1+(k-1)r$ .

$a_1=4$ , $r=3$ , dernier $=64$ .
$4+(k-1)3=64 \Rightarrow k=21$ .
$S=\dfrac{(4+64)\cdot 21}{2}=714$ .
$a_1=50$ , $r=2$ , dernier $=1002$ .
$50+(k-1)2=1002 \Rightarrow k=477$ .
$S=\dfrac{(50+1002)\cdot 477}{2}=250\,902$ .

Déterminer le sens de variation de la suite $u_n=n^2-8n+2$ (pour $n\in\mathbb{N}$ ).

Solution

Étudions l’incrément :

u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-8(n+1)+2-(n^2-8n+2)=2n-7.

Donc $(u_n)$ est décroissante pour $n=0,1,2,3$ puis croissante à partir de $n\ge4$ (minimum vers $n=4$ ).

On définit $u_0=2$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $\displaystyle u_{n+1}=\frac{u_n}{3u_n+1}$ (on admet $u_n\ne0$ ).
On pose $v_n=\dfrac{1}{u_n}$ .

Solution

$u_1=\dfrac{2}{7}$ , $u_2=\dfrac{2}{13}$ , $u_3=\dfrac{2}{19}$ .
Donc $v_1=\dfrac{7}{2}$ , $v_2=\dfrac{13}{2}$ , $v_3=\dfrac{19}{2}$ .
$v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{3u_n+1}{u_n}=3+\frac{1}{u_n}=v_n+3.$
Ainsi $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=3$ et $v_0=\dfrac{1}{u_0}=\dfrac12$ .
$v_n=v_0+3n=\dfrac12+3n=\dfrac{6n+1}{2}$ .
Donc $\displaystyle u_n=\frac{1}{v_n}=\boxed{\frac{2}{6n+1}}.$