Première
Suites numériques
Sens de variation d’une suite

Sens de variation d’une suite

Définition

Définition

On dit qu’une suite (un)(u_n) définie sur N\mathbb{N} est :

  • croissante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, un+1≥unu_{n+1} \geq u_n ;
  • décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, un+1≤unu_{n+1} \leq u_n ;
  • constante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, un+1=unu_{n+1} = u_n.

Remarques

  • Pour certaines suites, l’inégalité un+1≥unu_{n+1} \geq u_n n’est vraie que pour n≥pn \geq p ; on dit que (un)(u_n) est croissante à partir du rang pp.
  • Lorsqu’une suite est croissante ou décroissante, on dit qu’elle est monotone.
  • Pour étudier le sens de variation d’une suite, on pourra étudier le signe de la différence de deux termes consécutifs un+1−unu_{n+1} - u_n.
Exemples

a. 0,2,4,6,…0, 2, 4, 6, \dots la suite des entiers naturels pairs est une suite croissante, chaque terme est supérieur au précédent.

b. La suite (vn)(v_n) définie par vn=(−1)nv_n = (-1)^n n’est ni croissante ni décroissante. En effet, ses termes d’indices pairs sont égaux à 1 et ses termes d’indices impairs sont égaux à −1-1.

Cas d’une suite arithmétique de raison rr

Propriété

  • Si r>0r > 0 alors la suite est strictement croissante.
  • Si r<0r < 0 alors la suite est strictement décroissante.
  • Si r=0r = 0 alors la suite est constante.

Cas particulier de la suite (qn)(q^n)

Propriétés

  • Si q>1q > 1 alors la suite (qn)(q^n) est croissante.
  • Si 0<q<10 < q < 1 alors la suite (qn)(q^n) est décroissante.
  • Si q<0q < 0 alors la suite (qn)(q^n) n’est pas monotone.
  • Si q=0q = 0, alors la suite (qn)(q^n) est constante, qn=0q^n = 0 à partir du rang 1.
  • Si q=1q = 1, alors la suite (qn)(q^n) est constante, qn=1q^n = 1.

Remarque

Pour une suite géométrique (un)(u_n) de premier terme u0u_0 et de raison qq :

  • si u0u_0 est positif, la suite (un)(u_n) a le même sens de variation que la suite (qn)(q^n) ;
  • si u0u_0 est négatif, la suite (un)(u_n) a le sens de variation contraire de celui de la suite (qn)(q^n).

Déterminer un sens de variation

Exercice résolu

  1. La suite (un)(u_n) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=n2+3nu_n = n^2 + 3n.
    Montrer que (un)(u_n) est croissante.
  2. La suite (vn)(v_n) est définie, par
    {v0=3vn+1=vn−n2 \begin{cases} v_0 = 3 \\ v_{n+1} = v_n - n^2 \end{cases} pour tout entier naturel nn.
    Montrer que (vn)(v_n) est décroissante.
Solution commentée

1. Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N},

un+1−un=(n+1)2+3(n+1)−n2−3n=2n+4≥0. u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 3(n+1) - n^2 - 3n = 2n + 4 \ge 0.

On en déduit que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1−un≥0u_{n+1} - u_n \ge 0, donc la suite (un)(u_n) est croissante.

2. Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N},

vn+1−vn=−n2≤0. v_{n+1} - v_n = -n^2 \le 0.

On en déduit que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, vn+1−vn≤0v_{n+1} - v_n \le 0, donc la suite (vn)(v_n) est décroissante.

Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique

Exercice résolu

Les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont définies par :

{u0=−1un+1=un−5et{v0=−2vn+1=13vn \begin{cases} u_0 = -1 \\ u_{n+1} = u_n - 5 \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \begin{cases} v_0 = -2 \\ v_{n+1} = \tfrac{1}{3} v_n \end{cases}

pour tout entier naturel nn.
Déterminer la nature de chaque suite, puis déterminer son sens de variation.

Solution commentée

La suite (un)(u_n) est arithmétique de raison −5-5. Or −5-5 est négatif, donc (un)(u_n) est décroissante.

La suite (vn)(v_n) est géométrique de raison 13\tfrac{1}{3}. Pour tout entier naturel nn,

vn=−2×(13)n. v_n = -2 \times \left(\tfrac{1}{3}\right)^n.

Or 0<13<10 < \tfrac{1}{3} < 1 donc (13)n\left(\tfrac{1}{3}\right)^n est décroissante. Comme v0v_0 est négatif, la suite (vn)(v_n) est croissante.

Suites géométriquesNotion de limite d’une suite