Suites géométriques

Définition

Définition

Soit $u_0$ un nombre réel.
Une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ est géométrique s’il existe un nombre réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$ , on a :

u_{n+1} = q u_n.

Le nombre $q$ est appelé raison de la suite $(u_n)$ .

Remarque

Une suite $(u_n)$ est géométrique si, pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre.

Exemple

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 2u_n$ .
On passe d’un terme au suivant en le multipliant par 2. Ainsi :

u_1 = 10,\; u_2 = 20,\; u_3 = 40 \dots

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme 5 et de raison 2.

Propriété

$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ si et seulement si, pour tout entier naturel $n$ , on a :

u_n = u_0 q^n.

Remarques

La propriété précédente peut être utilisée avec d’autres termes que $u_0$ :
$u_n = u_1 \times q^{n-1} = u_2 \times q^{n-2} = \dots$
et, de façon générale, pour $p$ entier naturel,
$u_n = u_p \times q^{n-p}.$
De la relation de récurrence $u_{n+1} = q u_n$ , on peut passer à la formule explicite $u_n = u_0 q^n$ .
Ainsi, pour une suite géométrique, $u_n = f(n)$ , où $f$ est une fonction de type exponentielle (vue dans un chapitre ultérieur).

Exemple

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 3u_n$ .
La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison 3.

Pour tout entier naturel $n$ , on a :

u_n = u_0 \times q^n = 2 \times 3^n.

Somme des premières puissances d’un réel $q$

Propriété

Pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $q$ différent de 1, on a :

1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

Remarques

Il s’agit de la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q$ différente de 1. La formule de la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique quelconque est donnée et démontrée p. 21.
Lorsque $q = 1$ , la somme $1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^n$ vaut $n + 1$ .

Exercice résolu

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ ,

u_{n+1} = \tfrac{3}{2} u_n.

Donner la formule explicite de $u_n$ . En déduire la valeur exacte puis arrondie à l’unité de $u_{11}$ .
Quel est le rang du premier terme qui dépasse 100 ?

Solution commentée

1. La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $\tfrac{3}{2}$ .
Donc, pour tout entier naturel $n$ , on a :

u_n = u_0 q^n = 6 \left(\tfrac{3}{2}\right)^n.

En particulier,

u_{11} = 6 \left(\tfrac{3}{2}\right)^{11} = \tfrac{531441}{1024} \approx 519.

2. Pour tout entier naturel $n$ ,

u_n = 6 \left(\tfrac{3}{2}\right)^n.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que :

6 \left(\tfrac{3}{2}\right)^n \geq 100.

En calculant les premiers termes à la calculatrice, on trouve :

u_1 = 9,\quad u_2 = \tfrac{27}{2} = 13,5,\quad u_3 = \tfrac{81}{4} = 20,25,

u_4 = \tfrac{243}{8} \approx 30,375,\quad u_5 = \tfrac{729}{16} \approx 46,\quad u_6 = \tfrac{2187}{32} \approx 68,\quad u_7 = \tfrac{6561}{64} \approx 103.

Donc le plus petit entier $n$ tel que $6 \left(\tfrac{3}{2}\right)^n \geq 100$ est 7.

Suites arithmétiques Sens de variation d’une suite

Suites géométriques

Définition

Somme des premières puissances d’un réel qqq

Somme des premières puissances d’un réel $q$