Suites arithmétiques

Définition

Définition

Soit $u_0$ un nombre réel.
Une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ est arithmétique s’il existe un nombre réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$ ,

u_{n+1} = u_n + r.

Le nombre $r$ est appelé raison de la suite $(u_n)$ .

Remarque

Une suite $(u_n)$ est arithmétique si, pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre ou encore si la différence $u_{n+1} - u_n$ ne dépend pas de $n$ .

Exemple

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ ,

u_{n+1} = u_n + 5

On passe d’un terme au suivant en ajoutant 5. Ainsi $u_1 = 8$ , $u_2 = 13$ , $u_3 = 18 \ldots$
La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme 3 et de raison 5.

Propriété

$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ si et seulement si, pour tout entier naturel $n$ ,

u_n = u_0 + nr.

Remarques

La propriété précédente peut être utilisée avec d’autres termes que $u_0$ :
$u_n = u_1 + (n-1)r = u_2 + (n-2)r = \ldots$
et, de façon générale pour $p$ entier naturel,
$u_n = u_p + (n-p)r.$
De la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + r$ , on peut passer à la formule explicite $u_n = u_0 + nr$ .
Pour une suite arithmétique, on a $u_n = f(n)$ , où $f$ est la fonction affine $f(x) = u_0 + xr$ .
Dans un repère, les points de coordonnées $(n ; u_n)$ sont alignés.

Exemple

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1} = u_n + 1,5

La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = -1$ et de raison 1,5.
Donc, pour tout entier naturel $n$ , on a :

u_n = u_0 + nr = -1 + 1,5n

Somme des premiers entiers

Propriété

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :

1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

Remarque

Il s’agit de la somme des $n$ premiers termes de la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 1$ et de raison 1.

Reconnaître une suite arithmétique

Exercice résolu 1 — Reconnaître une suite arithmétique

La suite $(u_n)$ , définie par $u_n = n^2$ pour tout entier naturel $n$ , est-elle arithmétique ?
La suite $(v_n)$ , définie par $v_n = n^2 - (n+1)^2$ pour tout entier naturel $n$ , est-elle arithmétique ?

Solution commentée

1. On commence par calculer les premiers termes de la suite $(u_n)$ :

u_0 = 0 \ ; \ u_1 = 1 \ ; \ u_2 = 4

On a $u_1 - u_0 = 1$ et $u_2 - u_1 = 3$ , donc $u_1 - u_0 \neq u_2 - u_1$ .
La suite $(u_n)$ n’est donc pas arithmétique.

2. On commence par calculer les premiers termes de la suite $(v_n)$ :

v_0 = 0^2 - (0+1)^2 = -1 \ ; \ v_1 = 1^2 - (1+1)^2 = -3 \ ; \ v_2 = 2^2 - (2+1)^2 = -5

Il semble que la suite $(v_n)$ soit arithmétique de raison $-2$ .

Pour le prouver, on montre que la différence entre deux termes consécutifs quelconques est égale à $-2$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on a :

v_{n+1} - v_n = [(n+1)^2 - (n+2)^2] - [n^2 - (n+1)^2]

= (n^2 + 2n + 1 - n^2 - 4n - 4) - (n^2 - n^2 - 2n - 1)

= (-2n - 3) - (-2n - 1) = -2n - 3 + 2n + 1 = -2

Ainsi, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1} - v_n = -2$ .
Donc la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison -2.

Remarque : on peut également prouver que $(v_n)$ est arithmétique en montrant que

v_n = n^2 - (n+1)^2 = -2n - 1 = f(n)

avec $f$ affine.

Étudier une suite arithmétique

Exercice résolu 2 — Étudier une suite arithmétique

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = -7$ et, pour tout entier naturel $n$ ,

u_{n+1} = u_n + 4.

Donner la formule explicite de $u_n$ . En déduire la valeur de $u_{21}$ .
Un terme de la suite vaut-il 2019 ?

Solution commentée

1. La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = -7$ et de raison 4.
Donc, pour tout entier naturel $n$ , on a :

u_n = u_0 + nr = -7 + 4n.

En particulier :

u_{21} = -7 + 4 \times 21 = 77.

2. On cherche s’il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n = 2019$ .
On résout l’équation :

u_n = 2019 \iff -7 + 4n = 2019 \iff 4n = 2026 \iff n = \frac{2026}{4} = 506,5.

Or $n$ doit être un entier naturel, donc aucun terme de la suite n’est égal à 2019.

Modes de génération d’une suite numérique Suites géométriques