Première
Suites numériques
Modes de génération d’une suite numérique

Modes de génération d’une suite numérique

Définition d’une suite numérique

Définition

Une suite numérique est une fonction u:n↦u(n)u : n \mapsto u(n) définie sur N\mathbb{N} (ou seulement pour n≥kn \geq k avec kk entier naturel) et à valeurs dans R\mathbb{R}.
Le nombre réel u(n)u(n), noté unu_n (se lit « uu indice nn »), est appelé le terme de rang nn ou le terme général de la suite. On note cette suite (un)(u_n).

Une suite (un)(u_n) peut être représentée graphiquement par le nuage de points de coordonnées (n;un)(n;u_n).

Exemple
La liste 50;25;12,5;6,25…50 ; 25 ; 12,5 ; 6,25 \ldots définit les premiers termes de la suite (un)(u_n) telle que u0=50u_0 = 50, u1=25u_1 = 25, u2=12,5u_2 = 12,5, u3=6,25…u_3 = 6,25 \ldots.
On dit que 50 est le terme de rang 0 ; 25 est le terme de rang 1 ; 12,5 est le terme de rang 2, etc.

Suite définie par une formule explicite un=f(n)u_n = f(n)

Définition

Une suite est définie par une formule explicite lorsque unu_n s’exprime en fonction de l’entier nn.
Dans ce cas, on peut calculer chaque terme unu_n directement à partir de son rang nn.

Exemples

  • Pour tout entier naturel nn, on donne un=2nu_n = 2n.
    u0=2×0=0 ; u1=2×1=2u_0 = 2 \times 0 = 0 \ ; \ u_1 = 2 \times 1 = 2.
    u2=2×2=4 ;…; u20=2×20=40u_2 = 2 \times 2 = 4 \ ; \ldots ; \ u_{20} = 2 \times 20 = 40.

  • Pour tout entier naturel n≥1n \geq 1, on donne vn=n−1v_n = \sqrt{n - 1}.
    v1=1−1=0v_1 = \sqrt{1 - 1} = 0 (le premier terme ici est v1v_1 et non v0v_0) ;
    v2=2−1=1 ;…; v17=17−1=4v_2 = \sqrt{2 - 1} = 1 \ ; \ldots ; \ v_{17} = \sqrt{17 - 1} = 4.

Suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

Définition

Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu’elle est définie par la donnée de :

  • son premier terme ;
  • une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

Dans ce cas, pour calculer chaque terme unu_n, il faut avoir calculé tous les termes qui le précèdent.

Exemples

  • On définit la suite (un)(u_n) par u0=5u_0 = 5 et chaque terme est le triple de son précédent.
    u0=5 ; u1=3u0=3×5=15 ; u2=3u1=3×15=45…u_0 = 5 \ ; \ u_1 = 3u_0 = 3 \times 5 = 15\ ;\ u_2 = 3u_1 = 3 \times 15 = 45 \ldots

  • On définit la suite (vn)(v_n) par v0=3v_0 = 3 et, pour tout entier naturel nn,
    vn+1=4vn−6v_{n+1} = 4v_n - 6.
    v0=3 ; v1=4v0−6=4×3−6=6 ; v2=4v1−6=4×6−6=18…v_0 = 3 \ ; \ v_1 = 4v_0 - 6 = 4 \times 3 - 6 = 6 \ ; \ v_2 = 4v_1 - 6 = 4 \times 6 - 6 = 18 \ldots

Remarque

Il existe d’autres modes de génération d’une suite comme par exemple un algorithme ou encore un dénombrement lié à une suite de motifs géométriques.

Calculer des termes d’une suite

Exercice résolu 1 — Calculer des termes d’une suite

  1. Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par :

    >un=3n2−2n+1> > u_n = 3n^2 - 2n + 1 >


    a. Calculer le terme de rang 5, puis le 10e terme.
    b. Déterminer l’expression en fonction de nn des termes un+1u_{n+1} et u2nu_{2n}.

  2. Soit la suite (vn)(v_n) définie par v0=1v_0 = 1 et, pour tout entier naturel nn,

    vn+1=0,5vn+4. v_{n+1} = 0,5v_n + 4.


    Calculer v3v_3.

  3. Soit la suite (wn)(w_n) définie par w0=32w_0 = \tfrac{3}{2} et, pour tout entier naturel nn,

    wn+1=2wn(1−wn)+2. w_{n+1} = 2w_n(1 - w_n) + 2.


    Calculer w2w_2.

Solution commentée

1.
a. Le terme de rang 5 est u5u_5. On remplace nn par 5 :

u5=3×52−2×5+1=66 u_5 = 3 \times 5^2 - 2 \times 5 + 1 = 66


Le premier terme étant de rang 0, le 10e terme est de rang 9 :

u9=3×92−2×9+1=226 u_9 = 3 \times 9^2 - 2 \times 9 + 1 = 226

b.

un+1=3(n+1)2−2(n+1)+1=3n2+6n+3−2n−2+1=3n2+4n+2 u_{n+1} = 3(n+1)^2 - 2(n+1) + 1 = 3n^2 + 6n + 3 - 2n - 2 + 1 = 3n^2 + 4n + 2


u2n=3(2n)2−2(2n)+1=12n2−4n+1 u_{2n} = 3(2n)^2 - 2(2n) + 1 = 12n^2 - 4n + 1

2. Pour obtenir v3v_3, il faut calculer tous les termes qui le précèdent :

v1=v0×0,5+4=0,5×1+4=4,5 v_1 = v_0 \times 0,5 + 4 = 0,5 \times 1 + 4 = 4,5


v2=v1×0,5+4=0,5×4,5+4=6,25 v_2 = v_1 \times 0,5 + 4 = 0,5 \times 4,5 + 4 = 6,25


v3=v2×0,5+4=0,5×6,25+4=7,125 v_3 = v_2 \times 0,5 + 4 = 0,5 \times 6,25 + 4 = 7,125

3. Pour obtenir w2w_2, il faut calculer tous les termes qui le précèdent :

w1=2w0(1−w0)+2=2×32(1−32)+2=3×(−12)+2=−32+2=12 w_1 = 2w_0(1 - w_0) + 2 = 2 \times \tfrac{3}{2}(1 - \tfrac{3}{2}) + 2 = 3 \times (-\tfrac{1}{2}) + 2 = -\tfrac{3}{2} + 2 = \tfrac{1}{2}


w2=2w1(1−w1)+2=2×12(1−12)+2=1×12+2=52 w_2 = 2w_1(1 - w_1) + 2 = 2 \times \tfrac{1}{2}(1 - \tfrac{1}{2}) + 2 = 1 \times \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{5}{2}
Suites arithmétiques